\begin{section}{Discusión}





\begin{subsection}{Análisis de los gráficos de digitos binarios fijos e iteraciones variables}
	\begin{itemize}
		\item En este gráfico se puede observar a los distintos algoritmos y la diferencia entre las curvas que presentan. Observamos que Gregory en 20 iteraciones no alcanza un error menos a 0,01, en cambio Machin y ramanujan presentan pendientes mucho mas elevadas en modulo. Machin alcanza en 5 iteraciones un error menor $10^{-8}$, y luego no decrece mas el error. Ramanujan en la primera iteracion llega a un error menor a $10^{-8}$. Por el lado de Gregory, esto se debe a que gregory converge muy lentamente a $\pi$, y no alcanzan 20 iteraciones para acercarse a un error menor. Machin, lo alcanza, ya que converge mucho mas rapidamente, pero luego de la quinta iteracion comienza a operar con un error menor al que la precision de 52 bit le permite. Lo mismo sucede con Ramanujan, sólo que este algoritmo converge al error menor a $10^{-8}$ en la primera iteración. 
	\end{itemize}
\end{subsection}

\begin{subsection}{Análisis de los gráficos con iteración fija y t variable}
	\begin{itemize}
		\item En este grafico podemos ver que Gregory con 20 iteraciones opera con numeros suficientemente grandes, al punto de que con menos de 10 digitos de binarios le alcanzan para llegar al mismo resultado. Con Machin pasa algo muy similar, pero recien a los 25 digitos comienza a manejar resultados muy similares. Ramanujan, en cambio, opera con cada iteracion con 8 digitos decimales mas de precision que en la anterior. Esto se corrobora en el gráfico, ya que se observa que la tendencia de la función es de decrementar el error con cada bit de precisión.
	\end{itemize}
\end{subsection}

\begin{subsection}{Análisis de Método de truncamiento y redondeo}
	\begin{itemize}	
	\item En los gráficos generales se observa que las tendencias de los algoritmos con iteraciones fijas y digitos variables se mantiene igual. Dicho de otra manera, la diferencia entre truncar trabajando en t bits en la mantiza cuando mucho suma un 1 en el digito numero t de la mantiza, con lo que las tendencias no varían, como se vera en puntos siguientes con mas detalle.
	\item En el Caso de Gregory, al converger tan lentamente a $\pi$ trabajamos con 5000 iteraciones y digitos binarios de mantiza variables. Aquí se puede ver en detalle como hay una diferencia significativa,no sólo entre trabajar con diferente número de dígitos, sino entre truncamiento y redondeo, ya que la aproximación por redondeo se mantiene por debajo de la aproximación por truncamiento.
	\item En el caso de Machin, se observa algo muy similar al gráfico de Gregory, la aproximación por redondeo mantiene un error menor o igual (mayormente menor con los un numero menor a 25 bits de precisión) a la aproximación por redondeo. Se observa al igual que en gráficos anteriores, que luego de los 30 bits el error se mantiene constante, con lo que no se opera con números suficientemente pequeños como para que altere significativamente el error. 	\item En el caso de Ramanujan, observamos que las curvas se asemejan mucho a 2 rectas. Como dijimos antes, esto se debe a que la Serie de Ramanujan converge muy velozmente a $\pi$, de tal manera que cada iteracion añade 8 digitos binarios de presición respecto a la anterior. Esto se ve plazmado en que con cada dígito que agrego de precisión a los calculos el error relativo disminuye.
	\item En todos los graficos donde se analiza el truncamiento y el redonde, podemos observar que la tendencia de cada curva es la misma, solo varían las oscilaciones hasta converger en el error mencionado de cada algoritmo como se dijo anteriormente.

	\end{itemize}
\end{subsection}
\begin{subsection}{Análisis de los resultados teoricos}
	\begin {itemize}
	\item En la sección del analisis teórico de los algoritmos nos encontramos con funciones que acotan el error producido por las operaciones numéricas que realizan los algorítmos en los primeros tres términos. Estas funciones dependen de t, siendo t la cantidad de digitos binarios de mantiza con los que se trabaje. Tomarémos el ejemplo de Gregory, donde el gráfico de la cota en funcion de los dígitos tiene la pinta de una recta, que se mantiene por arriba del gráfico del error relativo de Gregory hasta cierto t0, y luego se cruzan y gregory acaba por converger a un valor de error ya mencionado. Esto sucede ya que estámos comparando el error relativo, que es la resta del $\pi$ mas preciso que podemos obtener con esta representación con solo los primeros dígitos de una primera aproximación con algunos pocos dígitos de precisión. Esto nos dice algunas cosas interesantes, como que el error numérico puede ser lo suficientemente grande con unos pocos bits de mantiza como para acotar la función del error relativo del algoritmo, que no solo se trata del error de operaciones, sino también el error de trabajar con un número finito de iteraciónes en una serie que converge cuando n tiende a infinito y el error de devolver un resultado en t-bits finitos, en lugar de los infinitos que debería tener.   
	\end{itemize}
\end{subsection}

\end{section}
